מבחן מפע"ם לדוגמא

פתרון והסבר:

התשובה הנכונה היא (3).

לסנן זו פעולה שעושים באמצעות מסננת, אשר מורכבת מהרבה נקבים, וכך גם לסרק זו פעולה שעושים באמצעות מסרק שמורכב מהרבה שיניים.

• תשובה (1) שגויה: להקליד זו פעולה שעושים על המקלדת, שמורכבת מהרבה מקשים. לא מקלידים באמצעות המקלדת (אלא באמצעות האצבעות).
• תשובה (2) שגויה: לכתוב זו פעולה שעושים באמצעות עט או עיפרון, שיש עליו חוד. אך בניגוד לסינון וסירוק, לכלי שבאמצעותו כותבים אין הרבה חודים, אלא חוד אחד. באמצעות נקב אחד או שן אחת, אי אפשר לסנן או לסרק, ובאמצעות חוד אחד אפשר לכתוב.
• תשובה (4) שגויה: מגל זה הכלי שבאמצעותו קוצרים. מגל אינו חלק ממה שקוצרים איתו (כמו נקב או שן).

פתרון והסבר:

התשובה הנכונה היא (3).

סברתו של מנהל השיווק היא שהחלפת אריזות המוצרים גרמה לירידה במכירות. עלינו לחפש בתשובות עובדה שתומכת בכך שזו אכן הסיבה לירידה במכירות, ולא סיבה אחרת. אם היקף המכירות הארצי של מוצרי חלב נותר ללא שינוי בתקופה שלאחר החלפת האריזות, הרי שלא חל שינוי מהותי כלשהו בשוק באופן כללי, ולפיכך לא היינו מצפים שתהיה ירידה במכירות החברה. מאחר שבכל זאת נרשמה ירידה, ההשערה שהסיבה לכך היא החלפת האריזות מתחזקת.

• תשובה (1) שגויה: הטעם והמרקם הייחודיים של מוצרי החברה אינם יכולים להיות הסיבה לירידה במכירות, שכן הם לא השתנו בתקופה שלפני הירידה. מכאן שאין לעובדה זו קשר לירידה במכירות – היא אינה מחלישה את סברתו של מנהל השיווק אך גם אינה תומכת בה.
• תשובה (2) שגויה: אם בעקבות החלפת האריזות לאריזות לבנות חל גידול בהיקף המכירות של החברה המתחרה, לא הגיוני להסיק שדווקא החלפת האריזות היא שגרמה לירידה במכירות. עובדה זו מחלישה את סברתו של מנהל השיווק.
• תשובה (4) שגויה: עובדה זו יכולה לספק הסבר חלופי לירידה במכירות. ייתכן שהירידה במחירי המוצרים של החברה המתחרה הובילה לקוחות רבים לעבור לרכוש את מוצריה, ומסיבה זו (ולא בשל החלפת האריזות) נרשמה ירידה במכירות. גם עובדה זו מחלישה את סברתו של מנהל השיווק.

פתרון והסבר:

התשובה הנכונה היא (4).

כדי לפשט ביטוי שכזה עלינו לנסות להביא איברים שונים בביטוי לבסיס זהה כדי שנוכל להשתמש בחוקי חזקות.

הבסיסים המופיעים בשאלה הם: 3, 8, 6, 4. אין בסיס אחד משותף לכל המספרים הללו, ולכן נחלקם לשתי קבוצות של בסיסים זהים:

את המספרים 4 ו-8 אפשר לבטא באמצעות הבסיס 2 כך: 

את המספר 6 אפשר לבטא באמצעות הבסיסים 2 ו-3 כך:

באופן זה כל המספרים בשאלה יהיו מבוטאים באמצעות הבסיסים 2 ו-3.

ניישם זאת על הביטוי הנתון:

כעת נשתמש בחוקי חזקות כדי לפשט את הביטוי:

מצאנו שהביטוי שווה לשישית, ולכן התשובה הנכונה היא תשובה (4).

פתרון והסבר:

התשובה הנכונה היא (1).

נבחן את הנתון: 

עלינו למצוא את התחום שבו y יכול להימצא, אך בנתון מופיע (y-) ולא y.

נביט בציר המספרים ונראה כי כאשר (y-) נמצא בין (1-) לאפס, אז הנגדי שלו (כלומר y) בהכרח נמצא בין אפס ל-1.

ראינו כי התחום שבו y יכול להימצא הוא:  כלומר y הוא שבר פשוט חיובי.

כאשר לוקחים את המספר 1 ומפחיתים ממנו שבר פשוט וחיובי, נשארים בהכרח עם שבר חיובי, ומכאן שהביטוי שווה בהכרח למספר בתחום שבין 0 ל-1 (לא כולל 0 ו-1).

למשל, אם

אז

התשובה היחידה שנמצאת בתחום שבו y יכול להימצא היא תשובה (1), ולכן היא התשובה הנכונה.

פתרון והסבר:

התשובה הנכונה היא (2).

בסרטוט מופיעים שני מעגלים: מעגל גדול שרדיוסו R ומעגל קטן שרדיוסו r.

כדי למצוא את היחס בין היקפי המעגלים שעליו אנו נשאלים, נבטא את ההיקף של כל אחד מן המעגלים באמצעות R ו- r:

הנוסחה לחישוב היקף מעגל היא: 

נציב את הרדיוסים הנתונים בנוסחה לחישוב ההיקף, ונחשב את היחס שעלינו למצוא:

מצאנו שהיחס שווה ל-2, ולכן התשובה הנכונה היא (2).

הערה: משאלה זו אפשר ללמוד שהיחס בין היקפיהם של שני מעגלים זהה ליחס בין הרדיוסים שלהם. כלל זה נכון לכל שני מעגלים.

פתרון והסבר:

התשובה הנכונה היא (4).

הנתון הראשון מספק לנו מידע על עבודתם המשותפת של אמיר ואדיר, אך כדי לענות על השאלה עלינו להבין מה קצב העבודה של אמיר לבדו.

שלב א' – מציאת קצב העבודה של אמיר

אמיר ואדיר עובדים באותו קצב, וכאשר הם עובדים יחד הם מסיימים לצבוע את הבית ב-6 שעות.

מכאן אפשר להסיק שאם אמיר יצבע את אותו בית לבדו, יידרש לו זמן כפול (כי עליו לבצע עבודה כפולה). כלומר, אמיר צובע לבדו את הבית ב-12 שעות.

שלב ב' – העבודה המשותפת של אמיר ואבי

נסדר את הידוע לנו עד כה בטבלה:

אמיר ואבי אינם עובדים באותו קצב, ומכאן שצביעת הבית אינה מתחלקת שווה בשווה ביניהם.

נזכור כי השניים עובדים יחד. כדי להבין את חלוקת העבודה ביניהם יש לבדוק מה קורה כאשר הם עובדים פרק זמן זהה.

נעשה זאת על גבי טבלה. לפי הנתון, כאשר השניים צובעים בית יחדיו נדרשות להם 3 שעות. מכאן שאם יצבעו במשך 12 שעות, הם יוכלו לסיים לצבוע 4 בתים (פי 4 זמן = פי 4 בתים):

אפשר לראות כי כאשר אמיר ואבי עובדים יחד במשך 12 שעות, הם צובעים 4 בתים. מתוך ארבעת הבתים אמיר צובע בית אחד, מה שאומר שבאותן 12 שעות אבי צובע 3 בתים (3=4-1).

שלב ג' – פתרון השאלה

ראינו כי אבי צובע 3 בתים ב-12 שעות. אם עליו לצבוע רק בית אחד, הרי יידרשו לו 4 שעות (שליש מהעבודה = שליש מהזמן). התשובה הנכונה היא (4).

טיפ חשוב: בשאלות הספק שבהן שני פועלים שקצב עבודתם אינו זהה, נשאל את עצמנו תמיד מה יהיה ההספק של כל אחד מהם אם משך הזמן שיעבדו יהיה שווה (להבדיל מהשאלה כמה זמן יידרש לכל אחד מהם אם יבצעו עבודה זהה, שלא תסייע לנו בפתרון).

פתרון והסבר:

התשובה הנכונה היא (3).

השאלה שלפנינו עוסקת ביחסים, ואפשר לפתור אותה בצורה אלגברית או באמצעות בדיקת התשובות.

דרך א' – פתרון אלגברי

בשאלה מתוארת קבוצה (האנשים שהוזמנו למסיבה) המחולקת לתתי-קבוצות. במקרים כאלה מומלץ לסדר את הנתונים בתרשים בצורת עץ:

כעת אפשר להשתמש במשתנה x כדי לבטא את היחסים בין הקבוצות בשאלה. כדי להימנע מהתעסקות עם שברים מומלץ תמיד להתחיל בקבוצה הקטנה ביותר – לסמן אותה ב-x, ובהתאם אליה למצוא את גודלי שאר הקבוצות. במקרה שלנו הקבוצה הקטנה ביותר היא קבוצת האנשים שלא הביאו מתנה, ולכן נסמן קבוצה זו ב-x ונשלים את שאר הקבוצות בהתאם לנתוני השאלה:

קיבלנו כי מספר האנשים שהוזמנו למסיבה הוא 15x. נזכור כי x הוא בהכרח מספר שלם (שהרי הוא מסמל מספר אנשים), ולכן מספר האנשים שהוזמנו למסיבה הוא בהכרח מספר שמתחלק ב-15 ללא שארית. המספר היחיד מבין התשובות שמתחלק ב-15 ללא שארית הוא 30, ולכן התשובה הנכונה היא (3).

דרך ב' – בדיקת תשובות

מכיוון שנשאלנו "איזה מהמספרים הבאים יכול להיות..." אפשר להציב את הערכים שבתשובות, לבדוק איזה מהם אפשרי ובדרך זו למצוא את התשובה הנכונה.

• תשובה (1): אם הוזמנו למסיבה 10 אנשים ו"מספר האנשים שהוזמנו למסיבה גדול פי 5 ממספר האנשים שהגיעו אליה", אז הגיעו למסיבה שני אנשים (2 = 10/5).
  לא ייתכן שמתוך שני האנשים שהגיעו למסיבה, מספרם של אלו שהביאו מתנה גדול פי 2 ממספרם של אלו שלא הביאו מתנה, מכיוון שבמצב שכזה נקבל מספר לא שלם של אנשים. התשובה נפסלת.
• תשובה (2): אם הוזמנו למסיבה 20 אנשים ו"מספר האנשים שהוזמנו למסיבה גדול פי 5 ממספר האנשים שהגיעו אליה", אז הגיעו למסיבה 4 אנשים (4 = 20/5).
  לא ייתכן שמתוך ארבעת האנשים שהגיעו למסיבה, מספרם של אלו שהביאו מתנה גדול פי 2 ממספרם של אלו שלא הביאו מתנה, מכיוון שבמצב שכזה נקבל מספר לא שלם של אנשים. התשובה נפסלת.
• תשובה (3): אם הוזמנו למסיבה 30 אנשים ו"מספר האנשים שהוזמנו למסיבה גדול פי 5 ממספר האנשים שהגיעו אליה", אז הגיעו למסיבה 6 אנשים (6 = 30/5). מבין ששת האנשים שהגיעו למסיבה, מספרם של אלו שהביאו מתנה גדול פי 2 ממספרם של אלו שלא הביאו מתנה, כלומר 4 אנשים הביאו מתנה, ושני אנשים לא הביאו מתנה. מצב זה אפשרי, ולכן התשובה מתאימה. בבדיקת תשובות, כאשר מוצאים תשובה אפשרית, אפשר לסמן אותה ולהמשיך הלאה מבלי לפסול את שאר התשובות.
• תשובה (4): אם הוזמנו למסיבה 54 אנשים ו"מספר האנשים שהוזמנו למסיבה גדול פי 5 ממספר האנשים שהגיעו אליה", אז מספר האנשים שהגיעו למסיבה אינו שלם, שהרי 54 לא מתחלק ב-5 ללא שארית. לכן תשובה זו נפסלת.

פתרון והסבר:

התשובה הנכונה היא (2).

בכל שנה, מאות תיירים מבקרים בטורקמניסטן כדי לראות את "שער הגיהינום", מכתש בוער ורוחש להבות, אשר פעם פלט ____ רעילים לאטמוספרה.

(1) פחדים
(2) גזים
(3) קירות
(4) עלים

משפט זה מדגים את העובדה שלעתים אין צורך בהבנת המשפט כולו כדי לענות נכונה על השאלה. המשפט עוסק במשהו poisonous (רעיל) ש-emitted לאטמוספרה. כלומר, עלינו למצוא מילה מבין התשובות שהיא דבר-מה שיכול להיות רעיל, ובנוסף - שיכול להיות לו קשר לאטמוספרה.

• תשובות (1) שגויה: פחדים אינם יכולים להיות רעילים, ולא הגיוני שהמכתש פלט פחדים לאטמוספירה.
• תשובה (2) מתאימה: גזים אכן עשויים להיות רעילים והגיוני שהם נפלטים לאטמוספרה.
• תשובה (3) שגויה: קירות הם לא דבר שהגיוני שיהיה רעיל, וכמו כן לא סביר שקירות נפלטים לאטמוספרה.
• תשובה (4) שגויה: עלים עשויים להיות רעילים, אך לא נראה הגיוני שהמכתש פולט עלים לאטמוספירה.

פתרון והסבר:

התשובה הנכונה היא (4).

"לבבות הם כמו פתיתי שלג – אין שניים זהים."

במשפט זה יש שני קשרים לוגיים חשובים:
מילת הקיצון no ("שום/אף/אין") המתייחסת למילה two ("שתיים/שניים").
קשר של דמיון בין לבבות לפתיתי שלג באמצעות המילה like ("כמו").
משמעות המשפט היא שאין שני לבבות זהים כשם שאין שני פתיתי שלג זהים, כלומר כל הלבבות שונים זה מזה וגם כל פתיתי השלג שונים זה מזה.

• תשובה (1) שגויה: כל הלבבות מחבבים פתיתי שלג מאחר שהם מאוד דומים להם. תשובה זו נפסלת מאחר שמשתמשים בה במילה "like" כפועל ("לחבב"), ולא כמילת השוואה שמשמעותה "כמו". לא צוין במקור כי הלבבות מחבבים פתיתי שלג, אלא שהם כמו פתיתי שלג. בנוסף, בתשובה זו יש מבנה של סיבה ותוצאה: פתיתי השלג דומים ללבבות ובגלל זה הם מחבבים אותם. אין שום סיבה ותוצאה במשפט המקורי.
• תשובה (2) שגויה: כל פתית שלג הוא כמו לב – אף אחד לא יודע כיצד הם נוצרים. בתשובה זו נשמר הדמיון בין פתיתי שלב ללבבות, אולם העניין שבו הם דומים הוא שונה. במשפט המקורי הם דומים בכך שאין ביניהם שניים זהים, ובתשובה זו הם דומים בכך שלא יודעים כיצד הם נוצרים, לכן תשובה זו נפסלת.
• תשובה (3) שגויה: לא סביר שפתית שלג ולב יהיו זהים. תשובה זו אינה מתאימה מאחר שהיא עוסקת בדמיון בין לב לפתית שלג. על פי תשובה זו, לא סביר ("unlikely") שפתית שלג ולב יהיו זהים, אך במקור - חוסר הזהות הוא בין לב אחד לאחר, ובין פתית שלג אחד לאחר. כמו כן, השימוש במילה unlikely עצמה מאפשר לפסול את התשובה מאחר שזוהי מילה העוסקת בסבירות, בסיכוי שהם יהיה דומים, בעוד שבמשפט המקורי זוהי עובדה שאין שניים דומים.
• תשובה (4) מתאימה: פתיתי שלג ולבבות חולקים את אותה תכונה: בלתי אפשרי למצוא שניים שהם זהים.
  בתשובה זו מופיעים כל הקשרים הלוגיים שבמשפט השאלה:
  מילת עוצמה מסוג קיצון – impossible ("בלתי אפשרי"), שמקבילה למילה "no" במקור.
  קשר של השוואה מסוג דמיון – identical ("זהים"), שמקביל למילה "alike" במקור והצירוף "share the same feature" (חולקים אותה תכונה), שמקביל למילה "like" במקור.